Die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein aufgespieltes blankes Herz-As gestochen wird, ergibt sich aus der Situation, daß genau 4 Fehl dieser Farbe im Spiel sind. Wir berechnen die W. mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung

hypergeo 3 1 27 9 * hypergeo 2 1 18 9

(Ich selbst habe ein blankes As, Spieler 2 hat genau 1 von den restlichen 3 Herz und 9 von 27 anderen; Spieler 3 hat genau 1 Herz und 9 der restlichen 18 anderen, Spieler 4 den Rest). Der Wert ist 0.246.

Im Kontrast dazu die W. für ein besetztes Pik-As: Wenn es rumgeht, hat genau ein Spieler ebenfalls 2 Pik. Wir kommen also auf

3 * hypergeo 4 2 26 8 * hypergeo 2 1 18 9 == 0.493.

Ein blankes As geht mit W.

3 * (hypergeo 5 3 25 7 * hypergeo 2 1 18 9 + hypergeo 5 1 25 9 * hypergeo 4 2 16 8) == 0.679

(entweder hat einer einen Dreier oder 2 haben Paare).

Die tatsächlichen W. liegen sogar noch geringfügig höher, da über die Trumpf-Verteilung zusätzliche Information vorausgesetzt werden darf, jeder hat zB mindestens 4 Trümpfe.

Um das zu rechnen, nehmen wir einfach die 4 Mindesttrümpfe aus der Rechnung heraus (sie werden sozusagen vorab verteilt).

1fach besetztes Pik-As: 3 * hypergeo 4 2 14 4 * hypergeo 2 1 10 5 == 0.529.

Blankes Pik-As: 3 * (hypergeo 5 3 13 3 * hypergeo 2 1 10 5 + hypergeo 5 1 13 5 * hypergeo 4 2 8 4 ) == 0.725.

Natürlich muß auch die Herz-W. korrigiert werden: hypergeo 3 1 15 5 * hypergeo 2 1 10 5 == 0.265.

Da man bei DoKo mit einem Partner zusammenspielt, muß auch noch berücksichtigt werden, daß es auch der eigene Partner sein kann, der entweder den Stich macht oder besser einen anderen Fehl abwerfen kann. Im Fall Herz zeigt sich zB, daß damit die W., den Herzstich zu bekommen, bei einem blanken As knapp über 50% kommt. Für die Bewertung der Entscheidung, Herz aufzuspielen oder nicht, gilt, daß das As durch Nichtaufspiel auf jeden Fall gefährdet wird.

Die Unterfälle des einfach besetzten schwarzen As führen zu weiteren Unterscheidungen. Das Aufspiel eines Doppelas kann meist aufgeschoben werden. Hat man beide schwarzen Asse mit As oder König 1fach besetzt, riskiert man durch das Vorziehen des Herzstichs beide schwarze Fehlstiche. In diesem Fall, ebenso wie beim Mitgehstich einer Hochzeit sollte man es besser bleiben lassen.

Nachdem die Trümpfe geklärt sind, stellt sich die Frage, ob man besser das As aufspielt, mit der Chance, das andere zu ziehen, und dem Risiko, die beiden anderen Stiche teuer abzugeben. Alternativ kann man die 10 aufspielen und hoffen, die beiden anderen Stiche zu bekommen. Hätte man statt des Königs die zweite 10, wäre der Fall ziemlich klar, da wahrscheinlich in den ersten Stich die Bilder zugegeben werden müssen. Zunächst die W. aus dem vollen Blatt, die Gegner haben 5 Karten der Farbe.

Sei n die Zahl der noch zu spielenden Karten. W., daß das As blank ist: Die möglichen Verteilungen bei den Gegenspielern sind dann 1/1/3, 1/4/0 oder 1/2/2. Verteilungen ohne Singles sind 0/2/3 und 0/0/5. Die letztere kann natürlich nicht mehr vorkommen, wenn nur noch 4 Karten zu spielen sind. Die angegebenen W. gelten für n==5.

• 1/4/0: 3 * hypergeo 5 4 (3*n-5) (n-4) 0.05
• 3/1/1: 3 * hypergeo 5 3 (3*n-5) (n-3) * hypergeo 2 1 (2*n-2) (n-1) 0.25
• 1/2/2: 3 * hypergeo 5 1 (3*n-5) (n-1) * hypergeo 4 2 (2*n-4) (n-2) 0.5
• 5/0/0: 3 * hypergeo 5 5 (3*n-5) (n-5) 0.001
• 0/2/3: 3 * hypergeo 5 0 (3*n-5) n * 2* hypergeo 5 2 (2*n-5) (n-2) 0.199

Wenig überrraschend ist die Summe der W. == 1. Soweit ist aber noch nicht berücksichtigt welche Karte das Single ist. Also ergibt sich die W. für das Ziehen eines blanken As als ( 0.05 + 2* 0.25 + 0.5) / 5 == 0.21.

Auf der Gegenseite scheitert die Strategie, die 10 aufzuspielen, auch in einigen Fällen, wenn nämlich nach dem Spielen der 10 einer der Gegner 10 und König auf der Hand behalten kann. Auch der Schaden, den ein erster Stich mit 3 Vollen anrichten kann, ist erheblich.

Man kann werfen, falls man keinen Trumpf über dem Fuchs hat, davon gibt es 18, also ist die W. hypergeo 18 0 22 10 == 0.00076

Eine Trumpfabgabe hat man bereits mit hypergeo 16 7 24 3 + hypergeo 16 8 24 2 + hypergeo 16 9 24 1 == 0.032.

Der Aufspielende habe folgende Karten: beide Kreuz-D, eine Pik-D, As und 10 in Herz, Pik und Kreuz, außerdem Karo 10. Ein Damensolo kann nur mit Glück gewonnen werden, wenn nämlich mindestens ein As (außer Karo) beim Gegner blank sitzt und somit gezogen wird. Die Hochzeit kann ebenfalls nur mit Glück gewonnen werden, wenn nämlich der Partner stark ist, oder die beiden schwarzen Asse rumgehen. In beiden Fällen stellt sich die Frage, bei welchem Ausgang des ersten Stichs ein Re gesagt werden kann. Bei der Hochzeit wäre noch die Gefahr einer Trumpfabgabe zu bedenken, 7 Volle auf einer anderen Hand wären unwahrscheinlich. Außerdem kommen noch Buben- oder sogar Damensolo und Köhler bei einem Gegner in Frage. Die W. für 5 Damen bei einem liegt bei 3 * hypergeo 5 5 25 5 == 0.005, für 5 Buben oder Könige bei 3 * hypergeo 8 5 22 5 == 0.147.

Die W., daß ein einzelnes As außer Karo beim Gegner blank sitzt, berechnet sich zu hypergeo 24 9 5 0 == 0.13 : Derjenige, der das As hat, muß 9 von 24 andersfarbigen und keine der verbliebenen 5 gleichfarbigen halten. Im 2. Stich steigt die W. auf hypergeo 23 8 5 0 == 0.158 usw.. Falls 3mal Damen gezogen wurden, ist die W., mindestens ein As zu ziehen, daher hypergeo 21 6 5 0 + (1-hypergeo 21 6 5 0)* (hypergeo 20 5 5 0 + (1-hypergeo 20 5 5 0) * hypergeo 19 4 5 0) == 0.656, nach 2maligem Damenziehen bei hypergeo 22 7 5 0 + (1-hypergeo 22 7 5 0)* (hypergeo 21 6 5 0 + (1-hypergeo 21 6 5 0)* hypergeo 20 5 5 0) == 0.562. Für einen evtl. Verzicht auf das Ziehen der dritten Dame erhält der Solospieler aber eine gewisse Chance, einen zusätzlichen Vollen zu stechen. Es werden allerdings 4 fremde Volle gebraucht, um die 120 zu erreichen. Es lohnt sich daher nicht, da es eine Spekulation auf einen Spielfehler der Gegner wäre.

Falls im ersten Stich 4 Damen fallen oder im zweiten alle außer einer, erhält der Solospieler im schlimmsten Fall 93 Punkte, wenn die Gegner nur (21) Bilder zugeben müssen.

Man kann auch noch den Fall betrachten, daß man statt der Damen die entsprechenden Buben hält. In diesem Fall könnte man wegen der 7 Vollen neue Karten erhalten.