In diesem Text sollen mathematische Methoden behandelt werden, die notwendig oder geeignet sind, ein ähnlich der visuellen Wahrnehmung des Menschen wirkendes System zu konstruieren.
U.a. soll versucht werden, eine erklärung für das Szintillationsgitter zu finden, insbesondere auch für das Phänomen, daß das Auftreten des Effekts von der Geradheit der Linien abhängt.
Folgende Eigenschaften seien also gegeben:
Es gibt physiologische Eigenschaften des Systems, die nicht für die Funktion wesentlich sind, aber doch behandelbar sein müssen:
Um die räumliche Struktur des Sehorgans zu modellieren, wird ein Raster konstruiert, das für die Fläche der Foveola, bis zu 1° Durchmesser, gleichmäßig hexagonal, außerhalb davon, ebenfalls hexagonal, aber log-polar, organisiert ist. Im Übergangsbereich ist vorgesehen, daß die mittlere Sensordichte stetig bleiben soll. Die genaue Verteilung im Grenzbereich kann undefiniert bleiben, die Bereiche werden getrennt, aber überlappend, verarbeitet. Dies ist die gleichmäßigste Verteilung von Sensoren in der Ebene, die möglich ist, und in dieser Beziehung deutlich besser als ein Muster auf rechteckiger Grundlage. Im übrigen entsprechen die Sensoren im Modell nicht den Zapfen selbst, sondern den zugehörigen rezeptiven Feldern. Der Einfachheit halber wird angenommen, daß ein rezeptives Feld, außer im Bereich des Blauskotoms, den ganzen Farbraum gleichmäßig abbildet.
Auch auf einem räumlich inhomogenen Abtastraster gilt (lokal) das Shannon-Abtast-Theorem. An jedem Ort können nur Raum-Frequenzen repräsentiert sein, die für die nicht weiter als mit der Hälfte des Kehrwerts benachbart ein 2. Abtastwert vorliegt. Qualitativ führt dies dazu, daß die Fouriertransformation auf diesem Raster in etwa ähnlich gerastert abzutasten ist, d.h. mit einem dichten Raster für niedrige Frequenzen, die überall vorkommen, und einem logarithmisch ausgedünnten Raster für hohe Frequenzen, die nur in der Fovea vorkommen.
Auch wenn in einem solchen Modell eine eindeutige Lokalisierung der retinalen Position jedes Sensors gegeben ist, wird angemerkt, daß dies in der Physiologie nicht von vornherein gegeben ist, sondern erst durch eine geeignete neuronale Verschaltung im Lauf des Wachstumsprozesses oder des Gebrauchs des Sehsinns entwickelt werden muß.
In diesem Artikel wird gezeigt, daß hexagonales Sampling effizient in den ebenfalls hexagonalen
dualen Frequenzraum fouriertransformiert werden kann, nämlich mit 1dimensionaler FFT. Der in Theorem 4 angegebene Isomorphismus φ(j v1 + k v2 ) = j + k(n+1) (mod N) ist allerdings fehlerhaft, da dieser offenbar nur für n == 1 bijektiv ist. Experimentieren zeigt, daß zB φ(j v1 + k v2 ) = j n + k(n+1) (mod N) diesen Fehler behebt. Wenn es richtig ist, daß der Fehler bei Vince/Zheng in der letzten Zeile des Beweises aufgetreten ist (wg. n c = n j + k (n+1) (mod N) ), ist die richtige Form: φ(j v1 + k v2 ) = j - k(3n + 2) (mod N) .
Ehrhardt 1993 oder Grigoryan 2002 haben haben Transformationen vom hexagonalen Raster in einen rechteckigen Frequenzbereich entwickelt. Diese Verfahren haben bzgl. der periodischen Fortsetzung anderes Verhalten als das obige. Sie sind auch nicht völlig symmetrisch hinsichtlich der Horizontal/Vertikal-Unterscheidung.
Ich gehe so vor: Das hexagonale Abtastraster besteht aus einer Überlagerung von 2 rechteckigen Rastern im Seitenverhältnis 1 : √3, die um eine Sechseckkante 0.5*(1,√3) gegeneinander verschoben sind. Die FFTs der beiden Teilmuster werden getrennt berechnet. Wenn man das zweite im Frequenzbereich mit der Phasenfunktion für die Verschiebung multipliziert, kann man die Summe und die Differenz bilden und aus diesen Matrizen durch Zusammenfügen eine neue bilden, die, evtl. mit Nullen auf quadratisches Format aufgefüllt, die gesuchte Fouriertransformierte ist. Die Auffüllung mit Nullen beseitigt die genannte Unsymmetrie.
Statt der Fouriertransformation könnte es sich auch lohnen, die Bilder in anderen Orthogonalbasen zu untersuchen, entweder Hermite- oder Laguerre-Funktionen. Algorithmen für schnelle Transformationen sind entwickelt worden, müßten aber noch implementiert werden. In beiden Systemen entspricht die Foveatisierung der Beschränkung auf endlich viele Terme.
Die Halbebene (genauer ein halber Streifen mit imaginärer Breite 2π) mit positivem Realteil wird auf die ganze Ebene abgebildet mittels komplexem cosh (Elliptische_Koordinaten). In diesem Koordinatensystem wird die Fouriertransformation durch eine gemischte Toeplitz- und Hankel-artige Faltung berechnet, mit Flächenelement
cosh^2(x) sin^2(y)+sinh^2(x) cos^2(y) = 1/2 (cosh(2 x)-cos(2 y))
und Kern exp (i/2 (cos(v+y)cosh(w-x)+cosh(w+x) cos(v-y)))
cosh(x) cos(y) cosh(w-x) cos(v-y)+sinh(x) sin(y) sinh(w-x) sin(v-y) = 1/2 (cos(v) cosh(w-2 x)+cosh(w) cos(v-2 y))
exp( 1i * cos(v+y)cosh(w-x)+cosh(w+x) cos(v-y)) = e^(cos(v-y) cosh(w+x)) cos(cos(v+y) cosh(w-x))+i e^(cos(v-y) cosh(w+x)) sin(cos(v+y) cosh(w-x)) = exp(cos(v-y) cosh( w+x)) *( exp(cos(v+y) cosh(w-x)))
Es ist unklar, ob man diese Faltung mittels FFT berechnen kann. Die Literatur gibt nur Ergebnisse für die additive Kombination von T. und H., nicht für die hier vorliegende multiplikative Kombination. Alternativ ist mögliche die Fouriertransformation über die orthogonalen Polynome nach Kaijser zu berechnen. Für die Orthogonalpolynome gibt es die übliche 2stufige Rekursionsformel, die einen FFT-schnellen Algorithmus ermöglicht.
Für den endlichen diskreten Fall spielen zwei unabhängige Designparameter eine Rolle, nämlich die Anzahl der Abtastwerte auf jeder Ellipse und der Abstand der beiden Brennpunkte. Die Dichte der Abtastwerte auf den Hyperbeln sollte so gewählt werden, daß in der Mitte zwischen den Brennpunkten im halben Abstand von der Verbindungsstrecke dieselbe Dichte wie auf den Ellipsen erreicht wird, die Zahl so, daß die höchste Frequenz an den Hyperbelenden zur Abtastdichte in der Mitte nach Shannon paßt.
Statt mit konformen elliptischen Koordinaten kann ein ähnlicher Effekt mit der nicht-konformen Transformation
x = sinh r * cos φ, y = sinh r * sin φ erreicht werden.
Die Transformation zwischen verschiedenen Abtastgittern erfordert Interpolation. I.a. wird dazu eine ad-hoc-Lösung gewählt, zB next neighbour, bilinear bei rechteckigen Gittern, baryzentrische Gewichte bei triangulierten Gittern. Diesen Verfahren ist gemeinsam, daß in Matrixschreibweise spasam besetzte Interpolationsmatrizen entstehen, mit Elementen zwischen 0 und 1, sowie konstanten Zeilensummen von 1. Die Matrizen für beide Richtungen eines Interpolationsproblems sind normalerweise keine Inversen, schon wegen der unterschiedlichen Anzahl der Gitterpunkte. Ohne besondere Vorkehrungen kann man allerdings auch nicht erwarten, daß diese Matrizen Pseudoinverse sind. Dies führt dazu, daß wiederholtes Wechseln des Abtastgitters zu einer Kontrastveränderung durch Mittelwertbildung führt. Im folgenden Text soll diskutiert, wie dieser Effekt minimiert werden kann.
Bei Betrachtung der Singulärwertzerlegung eines solchen pseudoinversen Paars ergibt sich, daß die Interpolationsmatrix dann als Produkt von zwei Rechtecksmatrizen darstellbar sein muß, von denen eine orthonormale Zeilen, die andere orthonormale Spalten enthält. Die Pseudoinverse ist die transponierte Matrix, alle von Null verschiedenen singulären Werte sind 1.
Die Berechnung der Pseudoinversen einer festen Matrix ist nicht besonders schwierig, insbesondere wenn eine brauchbare Approximation bereits bekannt ist, zB Methode von Ben-Israel und Cohen. Es stellt sich die Frage, ob man ein Paar von pseudoinversen spärlich besetzten Matrizen finden kann, welches zur 2dimensionalen Interpolation von Bildern geeignet ist. Offensichtlich ist dazu eine zusätzliche Bedingung erforderlich, die die Metrik der beiden Abtastgitter berücksichtigt. Wenn zB auf beiden Abtastgittern diskrete Laplaceoperatoren definiert sind, muß die Interpolation mit dem Laplaceoperator in einem geigneten Sinn vertauschbar sein.
Algebraisch verwendbare Gleichungen ergeben sich dadurch, daß die Anwendung der Interpolation auf die beiden Koordinaten wieder die Koordinaten des anderen Gitters ergeben müssen, außerdem als 3. Gleichung die Konstante 1 ebenfalls wieder zu 1 interpoliert wird. Wir suchen also, ausgehend von dem spärlich besetzten Ausgangspaar (das noch nicht pseudo-invers ist), durch wechselweise Iteration auf der gegebenen Matrixstruktur unter Beachtung der 3 Nebenbedingungen zu einem pseudo-inversen Paar von Interpolationsmatrizen zu kommen.